DOCENTE

Prof. Alberto Emiliani*

A CHI È RIVOLTO

Non sono richieste conoscenze preliminari se non di aritmetica elementare. Il corso è per chi vuole farsi un’idea generale dello sviluppo della logica formale tra Ottocento e Novecento e un’idea abbastanza precisa della cosiddetta “prova di Gödel”: come funzioni, perché funzioni, a quali conclusioni conduca rigorosamente e quali problematiche filosofiche apra.

SINTESI DEL CORSO

I teoremi di incompletezza di Kurt Gödel hanno cambiato in profondità il nostro modo di vedere i sistemi formali, aprendo interi campi di indagine (p. es. la teoria delle funzioni ricorsive); hanno posto in modo nuovo questioni che investono la natura del nostro pensare. Attraverso una costruzione logica impeccabile e vertiginosa Gödel ci guida a un’alternativa sconcertante: ogni formalizzazione della matematica è contraddittoria, cioè può provare una proposizione e la sua negazione, oppure è incompleta, cioè vi sono infinite proposizioni che non si possono né provare né refutare, anche se vere.

OBIETTIVI

Al termine del corso i partecipanti sapranno ricostruire i passaggi chiave del primo teorema di Gödel, comprendendo il significato e la portata dei suoi risultati — in particolare, della riflessione e della incompletezza. Sapranno inserire la prova nel contesto del “problema dei fondamenti” della matematica e degli studi sui sistemi formali.

PROGRAMMA

• (1) Sistemi formali: coerenza, completezza e paradossi (09/11/2022)
  

  Si traccia il percorso che portò ai sistemi formali e allo studio delle loro proprietà (metamatematica). Tra Ottocento e Novecento, diversi paradossi testimoniano un’inquietudine diffusa intorno ai “fondamenti” di logica e matematica.
  Temi: Oltre l’evidenza: separazione tra sintassi e semantica dei sistemi. Metamatematica: coerenza e completezza dei sistemi formali. I paradossi: Eubulide, Russell, Grelling, Richard; e i rimedi proposti: T-Teoria, Teoria dei Tipi, definizioni predicative.

• (2) Gödel: aritmetizzazione (16/11/2022)
  

  Dopo uno sguardo d’insieme al primo Teorema di Incompletezza di Gödel, ne esaminiamo il primo passo, l’aritmetizzazione. Gödel introduce una corrispondenza tale che ad ogni formula del sistema corrisponda un numero (il cosiddetto “gödeliano” della formula).
  Temi: Metodo di aritmetizzazione, numeri “gödeliani”. Corrispondenza a doppio filo tra numeri e formule. L’operazione stella e il suo vantaggio pratico. Esercizi.

• (3) Gödel: riflessione (23/11/2022)
  

  Il passo più potente della prova sta nel dimostrare la riflessione (rispecchiamento): le proprietà metamatematiche delle formule si rispecchiano in proprietà aritmetiche dei loro numeri gödeliani (e viceversa). Dunque le proprietà del sistema si riflettono in proprietà aritmetiche interne al sistema.
  Temi: Corrispondenza tra proprietà aritmetiche dei gödeliani e proprietà metamatematiche. La dimostrabilità e la proprietà numerica che lo rispecchia. Una formula riguardante numeri gödeliani “dice intuitivamente” qualcosa sul sistema cui essa appartiene.

• (4) Gödel: la costruzione della formula indecidibile (30/11/2022)
  

  Si passa a costruire la formula che, intuitivamente, dice di se stessa di non essere dimostrabile — rigorosamente, è dimostrabile se e solo se lo è la formula metamatematica che ne asserisce l’indimostrabilità. Dunque il sistema è o contraddittorio o incompleto.
  Temi: Costruzione di una formula che affermi del suo proprio gödeliano una proprietà aritmetica rispecchiante la non dimostrabilità della formula. L’alternativa tra incompletezza e contraddittorietà. Bibliografia essenziale. Principali posizioni interpretative: Lucas, Penrose, Hofstadter, Hao-Wang.

DOVE

Online, sulla piattaforma Zoom. Il link verrà inviato, a chi si sarà iscritto, tramite e-mail, pochi giorni prima dell’inizio del corso. 

CALENDARIO E ORARI

Tutte le lezioni si terranno dalle 18.00 alle 20.00, nel seguente calendario:

• 9/11
• 16/11
• 23/11
• 30/11

METODOLOGIE

All’interno di ogni parte espositiva sono previsti spazi di esercizio, chiarimento e discussione, ampliabili anche in incontri supplementari “facoltativi” da concordare su richiesta.

*IL DOCENTE

Alberto Emiliani è Docent di Filosofia presso l’Università di Helsinki, dove studiò con G. H. von Wright e conseguì il suo PhD. Ha tenuto conferenze e relazioni in diversi convegni internazionali. Le sue pubblicazioni sono principalmente su Wittgenstein e sulla filosofia della mente.